Обща топология
Препоръчана литература:
- R. Engelking - General Topology
Конспект (2019-2020):
В изпита влизат дефиниции и формулировки на теоремите от всички теми (общо около 250 теореми), а от за удебелените теми влизат и доказателства на теоремите.- Аксиоми на теорията на множествата (без аксиома за избора). Парадокс на Ръсел. Класове. Декартови произведения. Релации. Видове релации. Функции. Релации на еквивалентност и разбивания. Крайни и безкрайни множества.
- Частично наредени множества. Линейно наредени и добре наредени множества. Аксиома за избора. Лема на Куратовски-Цорн.
- Равномощни множества. Теорема на Кантор за мощността на булеана. Кардинални числа и кардинална аритметика. Канторово множество. Мощност на реалната права.
- Центрирани системи. Филтри и ултрафилтри. Теорема на Тарски.
- Дефиниция на топологично пространство. Отворени множества и околност на точка. Дискретни и антидискретни пространства. Пространство на Серпински.
- База на т.п. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена база. Тегло на т.п. Теорема на Александров-Урисон за бази. Права на Зоргенфрей.
- Предбаза на т.п. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена предбаза. Сравнение на топологии. Теорема: фамилията от всички топологии в дадено множество е пълна решетка.
- Локални бази и базисни системи от околности в т.п. Характер на точка в т.п. и характер на т.п. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена базисна система от околности. Равнина на Немицки.
- Затворени множества. Въвеждане на топология чрез аксиоматично задаване на затворените множества. Кофинитна топология. Затворена обвивка. Въвеждане на топология с помощта на оператор на Куратовски.
- Вътрешност на подмножество на т.п. - елементарни свойства. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададен оператор на вътрешност. Контур на подмножество на т.п. Точки на сгъстяване и изолирани точки. Навсякъде гъсти, когъсти и никъде не гъсти подмножества на т.п. Гъстота на т.п. F_\sigma и G_\delta подмножества на т.п.
- Непрекъснати изображение между т.п. - основни свойства и характеризации. Отворени и затворени изображения. Хомеоморфизми.
- Финални топологии.Сума на топологични пространства. Фактор-простванства. Примери - лист на Мьобиус, проективни равнини, бутилка на Клайн.
- Инициални топологии. Произведения на топологични пространства - някои елементарни теореми. Диагонално произведение на изображения.
- Аксиоми за отделимост T_0, T_1, T_2. Някои теореми за кардинални инварианти.
- Аксиоми за отделимост T_3 и T_3.5. Някои теореми за кардинални инварианти. Нулеви и конулеви множества.
- T_4-пространства. Лема на Урисон. Теорема на Тихонов за нормални пространства.
- Подпростванства - някои елементарни теореми. Рестрикции на функции върху подпространства.
- Теорема за диагоналното изображение. Теорема на Тихонов и Александров за влагане съответно в Тихоновски и Александровски куб.
- Компактни пространства - елементарни свойства.
- Теорема на Тихонов за произведение на компакти. Характеризация на компактните подмножества на R^n. Теорема на Вейерщрас.
- Локално компактни пространства.
- Свързани пространства. Компоненти на свързаност и квазикомпоненти. Локално свързани, линейно свързани, локално линейно свързани пространства.